binomul lui newton

PROIECT DE LECŢIE

Clasa a X-a D

Profesor: Raducea Luiza

Disciplina:Matematică

Unitatea de învăţare:Metode de numărare

Tema lecţiei: Binomul lui Newton

Tipul lecţiei: Lecţie de dobândire de noi cunoştinţe

Competenţe generale:

1.      Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.

2.      Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţurile matematice.

3.      Utilizarea algoritmilor şi conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete.

4.      Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora.

5.      Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii – problemă.

6.      Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii.

Competenţe specifice:

1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise
2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii –problemă date
3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv
4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor  probleme în scopul simplificării modului de numărare
5. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică.
6. Alegerea strategiilor de rezolvare   a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Obiective operaţionale:

·         Să identifice situaţiile în care pot aplica formula binomului lui Newton şi să o poată utiliza.

·         Să cunoască şi să aplice formula termenului general din dezvoltarea binomului lui Newton.

·         Sa rezolve diferite tipuri de  probleme (egalităţi şi inegalităţi utilizând binomul lui Newton, sume, relaţii între termeni în condiţii date).   

Valori şi atitudini:

1.      Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune.

2.      Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare.

3.      Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii.

4.      Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.

5.      Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională.

STRATEGII DIDACTICE:

·         Metode  şi procedee: conversaţia euristică, explicaţia, exerciţiul, problematizarea, lucrul individual, descoperirea dirijată

·         Modul de organizare al clasei: frontal, individual

·         Procedee de evaluare : analiza răspunsurilor primite; analiza şi compararea rezultatelor elevilor; aprecierea corectitudinii rezolvării aplicaţiilor (verbală / notarea activităţii elevilor).

     RESURSE:

·         Materiale didactice: manualul, fişe cu probleme, tabla, creta

·         Umane: 28 elevi

·         Temporale: 2ore

Locul: sala de clasă.

Bibliografie: programa şcolară, planificarea, manual matematică clasa a X a, Ed , culegere probleme clasa a X  a Ed. Campion.

DESFĂŞURAREA LECŢIEI

Etapele lecţiei	Conţinutul lecţiei	Metode	Modul de organizare	Procedee de evaluare
1. Moment organizatoric	Verificarea prezenţei elevilor, notarea absenţelor în catalog.	Conversaţie	Frontal
2. Captarea atenţiei	Verificarea  temei prin sondaj, prin confruntarea rezultatelor, iar dacă există probleme nerezolvate, acestea se rezolvă la tablă.	Conversaţie	Frontal Individual	analiza răspunsurilor
3. Anunţarea temei	Se anunţă clasa că lecţia prezentată se intitulează Binomul lui Newton, se prezintă competenţele	Conversaţie	Frontal	observarea elevilor
4. Dirijarea învăţării	Pornind de la formulele cunoscute şi  observând că în membrul drept al egalităţilor coeficienţii apăruţi sunt cei din linia corespunzătoare a triunghiului lui Pascal, propun elevilor evidenţierea unor proprietăţi rezultate din observarea formulelor,cu privire la: Ø  Numărul de termeni din dezvoltare , care este de n+1. Ø  Coeficienţii termenilor: coeficienţii egal depărtaţi de extremi şi extremi sunt egali. Ø  Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0, exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la cel mai mare, dar pentru orice termen din formulele de mai sus, suma exponenţilor lui a şi b este egală cu exponentul puterii binomului. Vom arăta că pentru orice , are loc următoarea formulă (Formula lui Newton): Fie, . Atunci: . Demonstraţia se realizează prin metoda inducţiei matematice: Notăm P(n): Pentru n=1       Presupunem P(m) adevărată şi demonstrăm că P(m+1) adevărată. După ce ambele etape au fost verificate, rezultă P(n) adevărată pentru orice . Coeficienţii Cn0, Cn1, Cn2, …, Cnn se numesc coeficienţi binomiali. Aplicaţii: Folosind formula binomului lui Newton să se dezvolte:  şi Observaţii: Ø  Se face distincţie între coeficientul unui termen din dezvoltare şi coeficientul binomial al aceluiaşi termen. Ø  dezvoltarea are  n+1 termeni Ø  Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0, exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la cel mai mare, dar pentru orice termen din formula de mai sus, suma exponenţilor lui a şi b este egală cu exponentul puterii binomului. Ø  Coeficienţii binomiali egal depărtaţi de extremi şi extremi sunt egali (combinări complementare). Ø  Pentru n par, coeficientul binomial din mijlocul dezvoltării este cel mai mare. Ø  Pentru n impar, coeficienţii  binomiali din mijlocul dezvoltării sunt cei mai mari şi sunt egali între ei. Ø  Termenul general al dezvoltării este , numit şi termen de rang k+1. Aplicaţii: Determină termenul al patrulea din dezvoltarea Determină termenul ce nu conţine a în dezvoltarea Determină termenul din mijloc al dezvoltării Pornind de la formula binomului lui Newton se poate demonstra că: ·         ·         ·         Suma coeficienţilor binomiali de rang par este egală cu suma coeficienţilor binomiali de rang impar	Conversaţie Explicaţie Problematiza-rea Exerciţiul	Frontal Individual	analiza răspunsurilor
5.Intensificarea retenţiei	Propun rezolvarea problemelor: Demonstraţi că  între doi termeni consecutivi ai dezvoltării  există relaţia . Să se găsească rangul celui mai mare termen din dezvoltarea	Conversaţie Explicaţie Problematizarea Exerciţiul Învăţarea prin descoperire	Frontal Individual	analiza răspunsurilor
6. Asigurarea feed – back-ului	Fişă de lucru	Muncă independentă	Individual	analiza răspunsurilor
7. Evaluare	Aprecierea elevilor care au răspuns în timpul  lecţiei	Conversaţie	Frontal Individual
8. Tema pentru acasă	Exerciţii din manual Problemele rămase nerezolvate din fişă	Conversaţie Explicaţia	Frontal